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數學家哈代的辯白,什么是數學中的美學?

曾夢龍2020-03-03 17:17:49

“他們都意識到,如果存在一條可以通往卓越人生的道路,那這條道路就是數學。”

《一個數學家的辯白》(雙語版)

內容簡介

本書是哈代于 1940 年寫成的作品,展現了數學之美、數學的持久性和數學的重要性三大主題。作者從自己的角度談論了數學中的美學,給眾多數學“門外漢”一個機會,洞察工作中的數學家的內心。作者還討論了數學的本質與特點、數學的歷史及其社會功能等諸多話題。

作者簡介

戈弗雷·哈羅德·哈代(1877—1947),英國數學界和英國分析學派的領袖,享譽世界的數學大師,在數論和分析學方面有著巨大的貢獻和深遠影響。培養和指導了眾多數學大家,其中包括印度數學奇才拉馬努金和我國數學家華羅庚。他還著有《不等式》《純數學教程》《哈代數論》等,這三本書均已由圖靈公司出版中譯本。

書籍摘錄

1

讓職業數學家去寫一本關于數學的書,他一定會很發愁。數學家的工作應該是去證明新定理、發現新數學,不該談論自己或其他數學家做了什么。政治家看不起時事評論家,畫家輕視藝術評論家,生理學家、物理學家、數學家們通常也有類似的感覺:這是實干家對評論家的藐視,沒有比這種藐視更深刻,或總體來說更無可非議的了。解說、評論、品鑒,都是二等人才從事的工作。

我記得,在和豪斯曼為數不多的幾次認真談話里,就有一次對這個話題展開過辯論。豪斯曼在他的萊斯利 ? 斯蒂芬講座《詩歌的名與實》上,堅決不承認自己是一個“批評家”。在我看來,他表達的方式很荒謬,其對文學批評表示的贊賞,也讓我非常震驚。

他以 22 年前就職演說中的一段話作為開頭:

我不能說,文學批評能力是否是上天賜予我們的最好禮物。但上天似乎是這樣認為的,毫無疑問,它是一份最謹慎的饋贈。演說家和詩人……雖然不像隨處可見的黑莓,但他們可比哈雷彗星的回歸來得常見,而文學批評家則更稀缺……


他繼續說道:

在這 22 年里,我在某些方面有所進步,不過在另一些方面退步了。但我還沒有進步到足以成為一名文學批評家;同樣,我也沒有退步到幻想自己已經是一名文學批評家。


一位偉大的學者和優秀的詩人竟然這樣認為,在我看來是很可悲的。幾個星期后,當我在大廳里發現旁邊坐的是豪斯曼時,便單刀直入地和他聊起了以下話題:他的話當真嗎?在他看來,最好的評論家真的能與學者和詩人相提并論嗎?整個晚餐,我們都在辯論這些問題,我想他最終同意了我的觀點。對一個再也無法反駁我的人 [7],我似乎并不能宣布這次辯論取得了勝利。不過,最終他對第一個問題的回答是“也許不能完全當真”,對第二個問題的回答是“或許不能相提并論”。

人們對豪斯曼的感受可能還有些不解,我也不指望他和我的想法是一致的。但科學家的感受是毋庸置疑的,我和他們有完全相同的體會。當我發現自己的創作只不過與數學“有關”,而并不是數學本身時,那就是在承認自己不行了,我很可能會因此而遭受更年輕、更有活力的數學家的輕視或憐憫。就像其他任何一位年逾花甲的數學家一樣,我圍繞著數學寫作,是因為頭腦已經老化,不再有足夠的精力和耐心去有效地從事數學本職工作了。

2

我打算替數學做一次辯白。也許有人會和我說,數學根本不需要這些,因為當下很少有研究工作能像數學一樣,無論出于什么原因,都能被公認為是有益的,并且也值得稱道。這也許是真的。事實上,由于愛因斯坦激動人心的成果,在大眾眼里,可能只有恒星天文學和原子物理學的地位會比數學高。數學家不必認為自己正處于守勢,也不需要面對像布拉德利在維護形而上學時所做的辯白里描述的那種敵意,那份令人欽佩的辯白就是《現象與實在》的引言。

據布拉德利說,人們會對形而上學家說,“形而上學的知識是根本不存在的”,或是“即便在某種情況下它們是存在的,但實際上它們還是沒有什么名副其實的內容”。還有人會說:“同樣的問題,同樣的爭論,同樣的徹底潰敗。為什么不另起爐灶呢?難道沒有別的事情值得去做了嗎?”沒有人會愚蠢到對數學說這種話。大量數學真理的權威性是明擺著的。它的實際應用隨處可見,橋梁、蒸汽機和發電機都是例子。不用嘮叨,人們就知道數學很有用。

在某種程度上,所有這些都能讓數學家感到欣慰,但真正的數學家幾乎不可能會對此感到滿意。任何一位真正的數學家一定會認為,數學的口碑所仰仗的并不是這些樸素的實際應用成果,它在很大程度上是出于人們的無知和不解,所以還有更合理的辯詞。無論如何,我打算試一試。相較于布拉德利艱難地為形而上學辯白,這應該會簡單些。

那么我得問,為什么認真研究數學的確是值得的呢?數學家存在的意義又是什么呢?在很大程度上,我的答案就是數學家的答案:我認為數學研究是值得的,數學家的存在也是有充分理由的。但同時我還要說明,我為數學的辯白也是在為自己說話,這份辯白在某種程度上必然會很本位。如果我認為自己在數學上很失敗,那就不會認為有必要為它辯白。

這種本位主義是不可避免的,我不認為真的需要為此辯解。優秀的成果不是由那些“謙虛”的人做出來的。無論什么學科,教授的首要職責之一,便是把他教的課程以及自己在其中的重要性稍作夸大。一個人若總是問自己“我做的事值得嗎?”“我是研究這個的合適人選嗎?”,那就永遠做不好自己,也會讓別人情緒低落。他必須不要太在意,稍微拔高一下學科和自身。這點并不難做到,不盲目把它們吹噓得荒唐可笑才是更難的。

3

一個人想要證明自己的存在和行為是有意義的,就必須辨別兩個不同的問題。第一個問題是,他的工作是否值得去做;第二個則是,無論其價值如何,他為什么要去做。前者通常很難回答,答案也常令人十分沮喪。然而,多數人會覺得回答后一個問題很容易。如果這些人是誠實的,那么答案通常會符合兩種形式,由于第二種只是比第一種更謙卑,于是第一種形式便成了我們唯一需要認真討論的答案。

(1)“我做我所做的,因為這是唯一一件我能做好的事。我做律師,或股票經紀人,或職業板球運動員,是因為我真的有天賦來勝任這份工作。我是一名律師,因為我口齒伶俐,并且有志于把控法律的微妙之處;我是一名股票經紀人,因為我對行情的判斷既快又準;我是一名職業板球運動員,因為我的擊球技術出類拔萃。我同意,成為詩人或數學家也許會更好,但不幸的是我并沒有從事這些職業的天賦。”

我并不是說多數人都能這樣替自己辯解,其實多數人什么都做不好。也許只有 5% 、最多也就 10% 的人可以在他的行當里干得相當出色。倘若是這一小部分人如此辯解,那么他們的說法一點兒也不荒謬,它是無懈可擊的。能真正做好一件事的人非常少,能做好兩件事的人更是寥寥無幾。如果某人真有天賦,那么為了把這份天賦發揮到極致,他應該做好犧牲一切的準備。

約翰遜博士贊同這個觀點:

當我告訴他,我曾見過一個和他一樣也叫約翰遜的人騎著三匹馬時,他說:“先生,這樣的人應該受到鼓勵,因為他的表演展示了人類力量的極限……”


同樣,他也會贊美登山者、橫渡海峽的泳將,以及盲棋手。就我個人而言,我完全支持這種為了取得杰出成就而做出的全部努力。即使是魔術師和口技演員,我也能表示理解。在阿廖欣和布拉德曼即將打破紀錄的那一刻,倘若他們失敗了,我會感到非常失望。就這點而言,約翰遜博士和我都覺得,我們和公眾的觀點是一致的。正如沃爾特 ? 特納所說,只有那些“趣味高雅的人”(帶有貶義)才不欣賞“真正的名家”。

當然,我們也必須考慮不同活動之間的價值差異。我寧愿當小說家或畫家,也不愿做相同級別的政治家。還有許多出名的辦法,多數人都會因其有問題而加以拒絕。然而,這種價值差異幾乎不會改變一個人對職業的選擇,擇業幾乎總是由個人天賦的局限性決定的。詩歌比板球更有價值,但如果布拉德曼為了寫二流小詩(我料想他不太可能寫出更好的作品)而放棄板球,那他就是個傻瓜。倘若他的板球技巧不那么高超,而詩歌還寫得稍好一些,那么可能會更難以抉擇:我不知道自己會更愿意成為維克托 ? 特蘭佩還是魯珀特 ? 布魯克。幸運的是,這樣的困境幾乎沒有出現。

我還可以補充一點,這些人絕不可能想要當一名數學家。盡管數學家與其他人在思維過程上的差異常常被過分夸大,但不可否認的是,數學才能是一種最專業的天賦,而數學家是這樣一類人,他們的常規能力或通才能力并不特別突出。如果一個人不管以什么標準衡量,都能算得上是真正的數學家,那么幾乎可以肯定,相較他能做的其他工作,從事數學會好得多。倘若他為了能在其他領域有一份普普通通的工作,而放棄可以發揮自己數學才能的良機,那他就是愚蠢的。只有出于經濟或年齡的考慮,這種犧牲才說得過去。

年輕時的哈代,來自:維基百科

4

關于年齡問題,我最好補充幾句,因為它對數學家特別重要。任何一位數學家都不應該讓自己忘記,比起任何其他藝術或科學,數學更是年輕人的游戲。舉一個相對簡單的例子,在英國皇家學會的入選者中,數學家的平均年齡是最小的。

我們還可以很輕松地找到更多引人注目的例證。比如,我們可以看看下面這個人的職業生涯,他無疑是世界上最偉大的三位數學家之一。牛頓在 50 歲時放棄了數學研究,他在很久以前就失去了對數學的熱情;毫無疑問,他在 40 歲時就意識到他那最富有創造力的數學生涯已經結束。牛頓最偉大的思想——流數術和萬有引力定律——是在 1666 年左右產生的,那時他才 24 歲。“在那些日子里,我正處于發明創造的黃金時期,我比任何時候都更專注于數學和哲學。”他不斷地取得重大發現,一直到將近 40 歲(他在 37 歲時算出了“橢圓軌道”),但在此之后,他除了修正和完善之前的成果,幾乎再也沒有做出什么新的東西了。

伽羅瓦 21 歲就死了,阿貝爾 27 歲,拉馬努金 33 歲,黎曼也只活到 40 歲。也有人在上了年紀之后做出過了不起的成就,高斯關于微分幾何的著名論文是在他 50 歲時發表的(盡管 10 年前他就有這方面的基本思想)。據我所知,在數學上沒有一項重大的進步是由超過 50 歲的人提出的。如果一把年紀的人喪失了對數學的興趣并將它拋棄,由此造成的損失對數學和他個人而言都不會很嚴重。

另一方面,數學家們在離開數學領域之后的狀況也并不那么振奮人心,他們也都沒什么實質性的建樹。牛頓(在不和別人爭吵的時候)是一個相當能干的鑄幣廠廠長。班勒衛是一位不太成功的法國總理。拉普拉斯的政治生涯極不光彩,但他幾乎不能算是一個合適的例子,因為他不是無能,而是不誠實,而且他從來沒有真正“放棄”過數學。很難找到第一流的數學家在放棄數學之后,在其他領域取得卓越成就的例子。也許有一些年輕人,倘若他們專攻數學,就會成為一流的數學家,但我從未聽說過一個確實可信的例子。我自己有限的經歷反復證明了這一切。我所認識的每一位真正才華橫溢的年輕數學家都對數學忠心耿耿,他們志存高遠,充滿雄心壯志。他們都意識到,如果存在一條可以通往卓越人生的道路,那這條道路就是數學。


題圖為哈代,來自:維基百科

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